已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ，an+1=23an+n-4，bn=(-1)n(an-3n+21)，其中λ为实数，n为正整数．（1）对任意实数λ，证明：数列{an}不是等比数列；（2）证明：当λ≠18时，数列{bn}是等比-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ，an+1=23an+n-4，bn=(-1)n(an-3n+2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ，a_n+1=

2

3

an+n-4，bn=(-1)n(an-3n+21)，
其中λ为实数，n为正整数．
（1）对任意实数λ，证明：数列{a_n}不是等比数列；
（2）证明：当λ≠18时，数列 {b_n} 是等比数列；
（3）设S_n为数列 {b_n} 的前n项和，是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有S_n＞-12？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

试题来源：上海模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：假设存在一个实数λ，使{a_n}是等比数列，则有a₂²=a₁a₃，（2分）
即（

2

3

λ-3）²=λ(

4

9

λ-4)?

4

9

λ2-4λ+9=

4

9

λ2-4λ?9=0，矛盾．
所以{a_n}不是等比数列．（4分）
（2）因为b_n+1=（-1）ⁿ⁺¹[a_n+1-3（n+1）+21]=（-1）ⁿ⁺¹（

2

3

a_n-2n+14）
=-

2

3

（-1）ⁿ?（a_n-3n+21）=-

2

3

b_n（7分）
当λ≠-18时，b₁=-（λ+18）≠0，由上可知b_n≠0，∴

ba+1

bn

=-

2

3

（n∈N⁺）．（8分）
故当λ≠-18时，数列{b_n}是以-（λ+18）为首项，-

2

3

为公比的等比数列（9分）
（3）当λ=-18时，b_n=0，从而S_n=0．成立．（10分）
当λ≠-18时，由（Ⅱ）得bn=-(λ+18)?(-

2

3

)n-1，于是Sn=-

3

5

(λ+18)?[1-(-

2

3

)n]，（12分）
要使对任意正整数n，都有S_n＞-12．
即-

3

5

(λ+18)?[1-(-

2

3

)n]＞12?λ

20

1-(-

2

3

)n

-18．
令f(n)=1-(-

2

3

)n，则
当n为正奇数时，1＜f(n)≤

5

3

：
当n为正偶数时，

5

9

≤f(n)＜1，∴f(n)的最大值为f(1)=

5

3

．（16分）
于是可得λ＜20×

3

5

-18=-6．
综上所述，存在实数λ，使得对任意正整数n，都有S_n＞-12；λ的取值范围为（-∞，-6）．（18分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ，an+1=23an+n-4，bn=(-1)n(an-3n+2..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：