已知数列{an}成等比数列，且an＞0．（1）若a2-a1=8，a3=m．①当m=48时，求数列{an}的通项公式；②若数列{an}是唯一的，求m的值；（2）若a2k+a2k-1+…+ak+1-（ak+ak-1+…+a1）=8，k∈N*，求-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}成等比数列，且an＞0．（1）若a2-a1=8，a3=m．①..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}成等比数列，且a_n＞0．
（1）若a₂-a₁=8，a₃=m．
①当m=48时，求数列{a_n}的通项公式；
②若数列 {a_n}是唯一的，求m的值；
（2）若a_2k+a_2k-1+…+a_k+1-（a_k+a_k-1+…+a₁）=8，k∈N^*，求a_2k+1+a_2k+2+…+a_3k的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设等比数列{a_n}的公比为q，由题意可得q＞0．a₁
①当m=48时，由a₂-a₁=8，a₃=48 可得

a1q-a1=8

a1q2=48

，解得

a1=8(2-

3

)

q =3+

3

，或

a1=8(2+

3

)

q =3-

3

．
数列{a_n}的通项公式为 a_n=8（2-

3

）(3+

3

)n-1，或 a_n=8（2+

3

） (3-

3

)n-1．
②若数列 {a_n}是唯一的，则

a1q-a1=8

a1q2=m

有唯一的正数解，即方程8q²-mq+m=0 有唯一的正数解，由△=m²-32m=0 可得m=32，
此时，q=2，a_n=2ⁿ⁺²．
（2）若a_2k+a_2k-1+…+a_k+1-（a_k+a_k-1+…+a₁）=8，k∈N^*，则有 q^k（a_k+a_k-1+…+a₁）-（a_k+a_k-1+…+a₁）=8，q＞1，
即（q^k-1）?（a_k+a_k-1+…+a₁）=8，即 a₁（q^k-1）?（ q^k-1+q^k-2+q^k-3+…q+1）=8．
∴a_2k+1+a_2k+2+…+a_3k=a₁?q^2k?（ q^k-1+q^k-2+q^k-3+…q+1）=a₁?q^2k?

8

a1(qk-1)

=

8?q2k

(qk-1)

=

8[(qk-1)2+2(qk-1)+1]

(qk-1)

=8[（q^k-1）+2+

1

qk-1

]≥8（2+2）=32，当且仅当 q^k-1=

1

qk-1

时，等号成立，
故a_2k+1+a_2k+2+…+a_3k的最小值为 32．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}成等比数列，且an＞0．（1）若a2-a1=8，a3=m．①..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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