已知fk（x）=（n-k+1）xn-k（其中k≤n，k，n∈N），F（x）=Cn°f0（x2）+Cn1f1（x2）+…+Cnkfk（x2）+…+Cnnfn（x2），x∈[-1，1]（1）试用n，k表示：F（1），F（0）（2）证明：F（1）-F（0）≤2n-1（n+2）-数学试题及答案

1、试题题目：已知fk（x）=（n-k+1）xn-k（其中k≤n，k，n∈N），F（x）=Cn°f0（x2）+Cn1f1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-27 07:30:00

试题原文

已知f_k（x）=（n-k+1）x^n-k（其中k≤n，k，n∈N），F（x）=C_n°f₀（x²）+C_n¹f₁（x²）+…+C_n^kf_k（x²）+…+C_nⁿf_n（x²），x∈[-1，1]
（1）试用n，k表示：F（1），F（0）
（2）证明：F（1）-F（0）≤2^n-1（n+2）

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f_k（1）=（n-k+1），f_k（0）=0
F（1）=C_n°f₀（1）+C_n¹f₁（1）+…+C_n^kf_k（1）+…+C_nⁿf_n（1）
=C_n°（n+1）+C_n¹（n）+…+C_n^k （n-k+1）+…+C_nⁿ×1，①
把F（1）倒序书写可得
F（1）=C_nⁿ×1+

C

n-1n

×2+…+

C

n-kn

（k+1）+…+C_n¹（n）+C_n°（n+1），②
把①和②相加可得2F（1）=（n+2）（ C_n°+C_n¹+…+C_n^k+…+C_nⁿ）=（n+2）2ⁿ，
故F（1）=（n+2）2^n-1．
F（0）=C_n°f₀（0）+C_n¹f₁（0）+…+C_n^kf_k（0）+…+C_nⁿf_n（0）=0．
（2）证明：F（1）-F（0）=（n+2）2^n-1-0≤（n+2）2^n-1，故不等式成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知fk（x）=（n-k+1）xn-k（其中k≤n，k，n∈N），F（x）=Cn°f0（x2）+Cn1f1..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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