发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-05 07:30:00
解:(Ⅰ)当m<1时,f(x)=x(3-x2)=3x-x3,因为f′(x)=3-3x2=3(1-x2)>0,所以f(x)是增函数; (Ⅱ)令g(x)=x|x2-3|,x≥0,则,当时,由g′(x)=3-3x2=0得x=1,所以g(x)在[0,1]上是增函数,在上是减函数;当时,由g′(x) =3x2-3>0,所以g(x)在上是增函数,所以当时,函数g(x)的最大值是g(1)=2,最小值是g(0)=,从而0<m<1均不符合题意,且均符合题意;当x≥0时,在时,f(x)∈[0,2];在时,f(x)∈[0,f(m)];这时f(x)的值域是[0,2]的充要条件是f(m)≤2,即m3-3m≤2,(m-2)(m+1)2≤0,解得,综上所述,m的取值范围是[1,2]。(Ⅲ)据(Ⅱ)知,当0<m<1时,函数f(x)的最大值是f(m)=3m-m3,由题意知,3m-m3=λm2,即-m是减函数,故λ的取值范围是(2,+∞);当1≤m≤2时,函数f(x)的最大值是f(1)=2,由题意知,2=λm2,即是减函数,故λ的取值范围是;当m>2时,函数f(x)的最大值是f(m)=m3-3m,由题意知,m3-3m=λm2,即λ=m-是增函数,故λ的取值范围是;综上所述,λ的最小值是,且此时m=2。
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知函数f(x)=x|x2-3|,x∈[0,m],其中m∈R,且m>0,(Ⅰ..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的单调性与导数的关系”。