已知函数f（x）=（x2-3x+3）·ex，（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调函数；（Ⅱ）当t＞-2时，判断f（-2）和f（t）的大小，并说明理由；（Ⅲ）求证：当1＜t＜4时，关于x的方程-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=（x2-3x+3）·ex，（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f（x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-05 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=（x²-3x+3）·e^x，
（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调函数；
（Ⅱ）当t＞-2时，判断f（-2）和f（t）的大小，并说明理由；
（Ⅲ）求证：当1＜t＜4时，关于x的方程：

（t-1）²在区间[-2，t]上总有两个不同的解。

试题来源：天津模拟题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）解：因为f′（x）=（x²-3x+3）·e^x+（2x-3）·e^x=x（x-1）·e^x，
由f′（x）＞0

x＞1或x＜0；由f′（x）＜0

0＜x＜1，
所以f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，
要使f（x）在[-2，t]上为单调函数，则-2＜t≤0；
（Ⅱ）解：f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，
∴f（x）在x=1处有极小值e，
又

，
∴f（x）在[-2，+∞）上的最小值为f（-2），
从而当t＞-2时，f（-2）＜f（t）。
（Ⅲ）证明：∵f′（x）=e^x（x²-x），
又

，
∴

，
令

，
从而问题转化为证明当1＜t＜4时，方程

=0在（-2，t）上有两个解，

，
当1＜t＜4时，g（-2）＞0且g（t）＞0，
但由于g（0）

，
所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且有两解。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=（x2-3x+3）·ex，（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f（x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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