对任意x∈R，给定区间[k-12，k+12]（k∈z），设函数f（x）表示实数x与x的给定区间内整数之差的绝对值．（1）当x∈[-12，12]时，求出f（x）的解析式；当x∈[k-12，k+12]（k∈z）时，写出用绝对-数学试题及答案

1、试题题目：对任意x∈R，给定区间[k-12，k+12]（k∈z），设函数f（x）表示实数x与x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-05 07:30:00

试题原文

对任意x∈R，给定区间[k-

1

2

，k+

1

2

]（k∈z），设函数f（x）表示实数x与x的给定区间内
整数之差的绝对值．
（1）当x∈[-

1

2

，

1

2

]时，求出f（x）的解析式；当x∈[k-

1

2

，k+

1

2

]（k∈z）时，写出用绝对值符号表示的f（x）的解析式；
（2）求f(

4

3

)，f(-

4

3

)的值，判断函数f（x）（x∈R）的奇偶性，并证明你的结论；
（3）当e-

1

2

＜a＜1时，求方程f(x)-loga

x

=0的实根．（要求说明理由e-

1

2

＞

1

2

）

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当x∈[-

1

2

，

1

2

]时，
由定义知：x与0距离最近，f（x）=|x|，x∈[-

1

2

，

1

2

]
当x∈[k-

1

2

，k+

1

2

]（k∈z）时，
由定义知：k为与x最近的一个整数，故
f（x）=|x-k|，x∈[k-

1

2

，k+

1

2

]（k∈z）；
（2）f(

4

3

)=

1

3

，f(-

4

3

)=

1

3

判断f（x）是偶函数．
对任何x∈R，函数f（x）都存在，且存在k∈Z，满足
k-

1

2

≤x≤k+

1

2

，f（x）=|x-k|，
由k-

1

2

≤x≤k+

1

2

，可以得出-k-

1

2

≤-x≤-k+

1

2

，
即-x∈[-k-

1

2

，-k+

1

2

]，
由（Ⅰ）的结论，f（-x）=|-x-（-k）|=|k-x|=|x-k|=f（x），
即f（x）是偶函数．
（3）f(x)-loga

x

=0，即|x-k|-

1

2

log_ax=0，
①当x＞1时，|x-k|≥0＞

1

2

log_ax，
∴|x-k|-

1

2

log_ax=0没有大于1的实根；
②容易验证x=1为方程|x-k|-

1

2

log_ax=0的实根；
③当

1

2

＜x＜1时，方程|x-k|-

1

2

log_ax=0变为1-x-

1

2

log_ax=0
设H（x）=

1

2

log_ax-（1-x）（

1

2

＜x＜1）
则H′（x）=

1

2xlna

+1＜

1

2xlne-

1

2

+1=-

1

x

+1＜0，
所以当

1

2

＜x＜1时，H（x）为减函数，H（x）＞H（1）=0，
所以方程没有

1

2

＜x＜1的实根；
④当0＜x≤

1

2

时，方程|x-k|-

1

2

log_ax=0变为x-

1

2

log_ax=0
设G（x）=

1

2

log_ax-x（0＜x≤

1

2

），显然G（x）为减函数，
∴G（x）≥G（

1

2

）=H（

1

2

）＞0，
所以方程没有0＜x≤

1

2

的实根．
综上可知，当e-

1

2

＜a＜1时，方程f(x)-loga

x

=0有且仅有一个实根，实根为1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“对任意x∈R，给定区间[k-12，k+12]（k∈z），设函数f（x）表示实数x与x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：