已知函数f(x)=ax2+1x+c（a＞0，c∈R）为奇函数，当x＞0时，f（x）的最小值为2．（I）求函数的解析式（Ⅱ）若a+b=1，a、b∈R+，求证：f(a)f(b)≥254（Ⅲ）若g（x）=f（x）-x，n∈N*且n≥2，求证：n-12n≤-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=ax2+1x+c（a＞0，c∈R）为奇函数，当x＞0时，f..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

ax2+1

x+c

（a＞0，c∈R）为奇函数，当x＞0时，f（x）的最小值为2．
（I）求函数的解析式
（Ⅱ）若a+b=1，a、b∈R⁺，求证：f(a)f(b)≥

25

4

（Ⅲ）若g（x）=f（x）-x，n∈N^*且n≥2，求证：

n-1

2n

≤g(22)+g(32)+g(42)+…+g(n2)＜

n-1

n

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）由函数f(x)=

ax2+1

x+c

（a＞0，c∈R）为奇函数，
可得f（-x）=

ax2+1

-x+c

=-f（x）=-

ax2+1

x+c

∴-x+c=-x-c
∴c=0
∴f(x)=

ax2+1

x

再由x＞0时，f(x)=

ax2+1

x

≥

2

a

x

=2

a

，
∵f（x）的最小值为2，得2

a

=2，?a=1，
故f(x)=

x2+1

x

（x≠0）…（4分）
（Ⅱ）欲证原不等式成立，
需证：(a+

1

a

)?(b+

1

b

)≥

25

4

．
因为 a+b=1，即证：ab+

2

ab

-2≥

25

4

，
再由a+b=1，a、b∈R⁺，ab≤(

a+b

2

)2=

1

4

，故0＜ab≤

1

4

，
令t=ab，考察函数y=t+

2

t

，它在区间（0，

1

4

]上是单调减函数，当t=

1

4

时，y=

33

8

，
∴ab+

2

ab

-2≥

25

4

，
从而原不等式成立．…（8分）
（学生用其它方法参照给分）
（Ⅲ）g(x)=

1

x

，需证：

n-1

2n

≤

1

22

+

1

32

+

1

42

+…+

1

n2

＜

n-1

n

一方面：

1

22

+

1

32

+

1

42

+…+

1

n2

＜

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n-1)n

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

=

n-1

n

…（10分）
另一方面：

1

22

=

1

2×2×(2-1)

1

k2

=

1

k?k

＞

1

k?2(k-1)

(k＞3)

1

22

+

1

32

+

1

42

+…+

1

n2

≥

1

2

(

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n-1)n

)

=

1

2

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

)=

n-1

2n

综上

n-1

2n

≤

1

22

+

1

32

+

1

42

+…+

1

n2

＜

n-1

n

．
…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=ax2+1x+c（a＞0，c∈R）为奇函数，当x＞0时，f..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：