设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），已知不论α，β为何实数恒有f（sinα）≥0和f（2+cosβ）≤0．（Ⅰ）求f（1）的值；（Ⅱ）求证：c≥3a；（Ⅲ）若a＞0，函数f（sinα）的最大值为8，求b的值．-数学试题及答案

1、试题题目：设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），已知不论α，β为何实数恒有..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），已知不论α，β为何实数恒有f（sinα）≥0和f（2+cosβ）≤0．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）求证：c≥3a；
（Ⅲ）若a＞0，函数f（sinα）的最大值为8，求b的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（本小题满分16分）
（1）取α=

π

2

，得f（sinα）=f（1）=a+b+c≥0
取β=π，得f（2+cosβ）=f（1）=a+b+c≤0
∴f（1）=0
（2）证：取β=0，得f（2+cosβ）=f（3）=9a+3b+c≤0
由（1）得f（1）=a+b+c=0，∴b=-（a+c）代入得9a-3（a+c）+c≤0
∴c≥3a
（3）设sinx=t，则-1≤t≤1又b=-（a+c），
∴f（sinx）=f（t）=at²-（a+c）t+c=a(t-

a+c

2a

)2+c-

(a+c)

4a

2，
∵a＞0，c≥3a，
∴

a+c

2a

≥

a+3a

2a

=2，
∴二次函数f（t）在t∈[-1，1]上递减
∴t=-1时，f（x）_最大=a+（a+c）+c=8
∴a+c=4，b=-（a+c）=-4．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），已知不论α，β为何实数恒有..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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