已知函数f(x)=x2+1x+c的图象关于原点对称．（1）求f（x）的表达式；（2）n≥2，n∈N时，求证：[f（1）-1]|[f（22）-22]+…+[f（n2）-n2]＜2；（3）对n≥2，n∈N，x＞0，求证[f（x）]n-f（xn）≥2n-2．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=x2+1x+c的图象关于原点对称．（1）求f（x）的表达式；（2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

x2+1

x+c

的图象关于原点对称．
（1）求f（x）的表达式；
（2）n≥2，n∈N时，求证：[f（1）-1]|[f（2²）-2²]+…+[f（n²）-n²]＜2；
（3）对n≥2，n∈N，x＞0，求证[f（x）]ⁿ-f（xⁿ）≥2ⁿ-2．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

∵f（x）图象关于原点对称
∴f（x）是奇函数，代入特值，f（1）=-f（-1），求得c=0
∴f(x)=

x2+1

x

（2）∵n≥2，n∈N
∴f(n2)-n2=

1

n2

＜

1

(n-1)n

=

1

n-1

-

1

n

(n≥2)
∴[f(1)-1]+…+[f(n2)-n2]＜1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)＜2
（3）[f(x)]n-f(xn)=(x+

1

x

)n-(xn+

1

xn

)
=

C

1n

xn-1

1

x

+

C

2n

xn-2(

1

x

)2+…+

C

n-1n

x(

1

x

)n-1
=

1

2

[(

C

1n

xn-1

1

x

+

C

n-1n

x(

1

x

)n-1)+(

C

2n

xn-2(

1

x

)2+

C

n-2n

x2(

1

x

)n-1)+…+(

C

n-1n

x(

1

x

)n-1+

C

1n

xn-1(

1

x

))]

≥

1

2

[

C

n1

2

xn-1

1

x

x(

1

x

)n-1 +

C

n2

?2

xn-2

1

x 2

x2(

1

x

) n-2

+…+

C

nn-1

?2

(

1

x

) n-1x n-1

]=2ⁿ-2
∴[f（x）]ⁿ-f（xⁿ）≥2ⁿ-2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=x2+1x+c的图象关于原点对称．（1）求f（x）的表达式；（2..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：