已知函数f（x）=-x3+x2，g（x）=alnx，a∈R．（1）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，求a的取值范围；（2）设F（x）=f(x)，x＜1g(x)，x≥1若P是曲线y=F（x）上异于原点O的任意一-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=-x3+x2，g（x）=alnx，a∈R．（1）若对任意x∈[1，e]，都有..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=-x³+x²，g（x）=alnx，a∈R．
（1）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x²+（a+2）x恒成立，求a的取值范围；
（2）设F（x）=

f(x)，x＜1

g(x)，x≥1

若P是曲线y=F（x）上异于原点O的任意一点，在曲线y=F（x）上总存在另一点Q，使得△POQ中的∠POQ为钝角，且PQ的中点在y轴上，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x²+（a+2）x恒成立，得（x-lnx）a≤x²-2x，．
由于x∈[1，e]，lnx≤1≤x，且等号不能同时取得，所以lnx＜x，x-lnx＞0．
从而a≤

x2-2x

x-lnx

恒成立，a≤（

x2-2x

x-lnx

）_min． …（4分）
设t（x）=

x2-2x

x-lnx

，x∈[1，e]，
求导，得t′（x）=

(x-1)(x+2-lnx)

(x-lnx)2

．…（6分）
x∈[1，e]，x-1≥0，lnx≤1，x+2-lnx＞0，
从而t′（x）≥0，t（x）在[1，e]上为增函数．
所以t（x）_min=t（1）=-1，所以a≤-1．…（8分）
（2）F（x）=

-x3+x2，x＜1

alnx， x≥1

，
设P（t，F（t））为曲线y=F（x）上的任意一点．
假设曲线y=F（x）上存在一点Q（-t，F（-t）），使∠POQ为钝角，
则

OP

?

OQ

＜0，
若t≤-1，P（t，-t³+t2），Q（-t，aln（-t）），

OP

?

OQ

=-t²+aln（-t）（-t³+t²），
由于

OP

?

OQ

＜0恒成立，a（1-t）ln（-t）＜1．
当t=-1时，a（1-t）ln（-t）＜1．恒成立．
当t＜-1时，a＜

1

(1-t)ln(-t)

恒成立．由于

1

(1-t)ln(-t)

＞0，所以a≤0．（12分）
若-1＜t＜1，t≠0，P（t，-t³+t²），Q（-t，t³+t²），
则

OP

?

OQ

=-t²+（-t³+t²）（t³+t²）＜0，
t⁴-t²+1＞0对-1＜t＜1，t≠0恒成立．…（14分）
③当t≥1时，同①可得a≤0．
综上所述，a的取值范围是（-∞，0]． …（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=-x3+x2，g（x）=alnx，a∈R．（1）若对任意x∈[1，e]，都有..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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