已知函数g(x)=1-x21+x2(x≠0，x≠±1，x∈R)的值域为A，定义在A上的函数f（x）=x-2-x2（x∈A）．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）判断函数f（x）的单调性并用定义证明；（3）解不等式f（3x+1）＞-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数g(x)=1-x21+x2(x≠0，x≠±1，x∈R)的值域为A，定义在A上的函..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知函数g(x)=

1-x2

1+x2

(x≠0，x≠±1，x∈R)的值域为A，定义在A上的函数f（x）=x^-2-x²（x∈A）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）的单调性并用定义证明；
（3）解不等式f（3x+1）＞f（5x+1）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由y=

1-x2

1+x2

得x2=

1-y

1+y

＞0，故-1＜y＜1，因此A=（-1，0）∪（0，1）．又
因为f（-x）=f（x），所以f（x）是偶函数；
（2）设x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=

1

x

21

-

x

21

-

1

x

22

+

x

22

=(x2-x1)(x2+x1)(1+

1

x

21

x

22

)，
①如果x₁，x₂∈（-1，0），那么x₁+x₂＜0，故f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）；
②若x₁，x₂∈（0，1），则x₁+x₂＞0，故f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）．
因此f（x）在（-1，0）单增，在（0，1）单减；
（3）因为f（x）是偶函数，所以f（x）=f（|x|），从而原不等式化为f（|3x+1|）＞f（|5x+1|）．
故

|3x+1＜|5x+1

0＜|3x+1＜1

0＜|5x+1＜1

，即

(8x+2)?2x＞0

-

2

3

＜x＜0且x≠-

1

3

-

2

5

＜x＜ 0且x≠-

1

5

，
解得-

2

5

＜x＜-

1

3

或-

1

3

x＜-

1

4

，从而原不等式的解集为{x|-

2

5

＜x＜-

1

3

或-

1

3

x＜-

1

4

}．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数g(x)=1-x21+x2(x≠0，x≠±1，x∈R)的值域为A，定义在A上的函..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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