已知函数f（x）对于任意x，y∈R，总有f（x）+f（y）=f（x+y），且x＞0时，f（x）＜0，f(1)=-12．（1）求证：f（x）在R上是减函数；（2）求f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）对于任意x，y∈R，总有f（x）+f（y）=f（x+y），且..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）对于任意x，y∈R，总有f（x）+f（y）=f（x+y），且x＞0时，f（x）＜0，f(1)=-

1

2

．
（1）求证：f（x）在R上是减函数；
（2）求f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：设x∈R，t＞0，x+t＞x，则

f(x+t)-f(x)=f(x)+f(t)-f(x)=f(t)

∵t＞0，∴f（t）＜0，f（x+t）＜f（x）
∴f（x）在R上是减函数
（2）由（1）知f（x）在R上是减函数
∴f（x）在[-2，2]上单调递减，
令x=y=0，则f（0）+f（0）=f（0+0），∴f（0）=0
令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（x-x），∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）是奇函数
∴f（x）_min=f（2）=f（1）+f（1）=-1，f（x）_max=f（-2）=-f（2）=1

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）对于任意x，y∈R，总有f（x）+f（y）=f（x+y），且..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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