已知函数f（x）=alnx+bx，且f（1）=-1，f′（1）=0，（1）求f（x）；（2）求f（x）的最大值；（3）若x＞0，y＞0，证明：lnx+lny≤xy+x+y-32．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=alnx+bx，且f（1）=-1，f′（1）=0，（1）求f（x）；（2）求f（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=alnx+bx，且f（1）=-1，f′（1）=0，
（1）求f（x）；
（2）求f（x）的最大值；
（3）若x＞0，y＞0，证明：lnx+lny≤

xy+x+y-3

2

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由b=f（1）=-1，f′（1）=a+b=0，∴a=1，
∴f（x）=lnx-x为所求；
（2）∵x＞0，f′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

，当x变化时，f′（x），f（x）变化情况如下表：

∴f（x）在x=1处取得极大值-1，即所求最大值为-1；
（3）证明：由（2）得lnx≤x-1恒成立，
∴lnx+lny=

lnxy

2

+

lnx+lny

2

≤

xy-1

2

+

x-1+y-1

2

=

xy+x+y-3

2

成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=alnx+bx，且f（1）=-1，f′（1）=0，（1）求f（x）；（2）求f（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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