已知函数f(x)=(a-12)x2+lnx．（a∈R）（1）当a=1时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；（2）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=(a-12)x2+lnx．（a∈R）（1）当a=1时，求f（x）在区间[1，e..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=(a-

1

2

)x2+lnx．（a∈R）
（1）当a=1时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（2）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方，求a的取值范围．

试题来源：茂名一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解（Ⅰ）当a=1时，f(x)=

1

2

x2+lnx，f′(x)=x+

1

x

=

x2+1

x

．
对于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数．
∴fmax(x)=f(e)=1+

e2

2

，fmin(x)=f( 1 )=

1

2

（Ⅱ）令g(x)=f(x)-2ax=(a-

1

2

)x2-2ax+lnx，则g（x）的定义域为（0，+∞）．
在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方等价于g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立．
∵g′(x)=(2a-1)x-2a+

1

x

=

(2a-1)x2-2ax+1

x

=

(x-1)[(2a-1)x-1]

x

．
①若a＞

1

2

，令g'（x）=0，得极值点x₁=1，x2=

1

2a-1

．
当x₂＞x₁=1，即

1

2

＜a＜1时，在（x₂，+∞）上有g'（x）＞0．
此时g（x）在区间（x₂，+∞）上是增函数，并且在该区间上有g（x）∈（g（x₂），+∞），不合题意；
当x₂＜x₁=1，即a≥1时，同理可知，g（x）在区间（1，+∞）上，有g（x）∈（g（1），+∞），也不合题意；
②若a≤

1

2

，则有2a-1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有g'（x）＜0．
从而g（x）在区间（1，+∞）上是减函数
要使g（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足g(1)=-a-

1

2

≤0?a≥-

1

2

．
由此求得a的范围是[-

1

2

，

1

2

]．
综合①②可知，当a∈[-

1

2

，

1

2

]时，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=(a-12)x2+lnx．（a∈R）（1）当a=1时，求f（x）在区间[1，e..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：