已知函数f（x）=的定义域为[α，β]，值域为[logaa（β﹣1），logaa（α﹣1）]，并且f（x）在[α，β]上为减函数．（1）求a的取值范围；（2）求证：2＜α＜4＜β；（3）若函数g（x）=logaa（x﹣1）﹣，x∈[α，β]的-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=的定义域为[α，β]，值域为[logaa（β﹣1），logaa（α﹣1）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

的定义域为[α，β]，值域为[log_aa（β﹣1），log_aa（α﹣1）]，并且f（x）在[α，β]上为减函数．
（1）求a的取值范围；
（2）求证：2＜α＜4＜β；
（3）若函数g（x）=log_aa（x﹣1）﹣

，x∈[α，β]的最大值为M，求证：0＜M＜1．

试题来源：四川省月考题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解．（1）按题意，得

．
∴

即 α＞2．
又

∴关于x的方程

．
在（2，+∞）内有二不等实根x=α、β．

关于x的二次方程ax²+（a﹣1）x+2（1﹣a）=0在（2，+∞）内有二异根α、β．

．
故

．
（2）令Φ（x）=ax²+（a﹣1）x+2（1﹣a），
则Φ（2）●Φ（4）=4a●（18a﹣2）=8a（9a﹣1）＜0．
∴2＜α＜4＜β．
（3）∵

，

=

．
∵lna＜0，
∴当x∈（α，4）时，g'（x）＞0；
当x∈（4，β）是g'（x）＞0．
又g（x）在[α，β]上连接，
∴g（x）在[α，4]上递增，在[4，β]上递减．
故 M=g（4）=log_a9+1=log_a9a．
∴

，
∴0＜9a＜1．
故M＞0．
若M≥1，则9a=a^M．
∴9=a^M﹣1≤1，矛盾．
故0＜M＜1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=的定义域为[α，β]，值域为[logaa（β﹣1），logaa（α﹣1）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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