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1、试题题目：已知函数f（x）=x2﹣alnx在（1，2]是增函数，在（0，1）为减函数．（1）求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x2﹣alnx在（1，2]是增函数，在（0，1）为减函数．
（1）求f（x）、g（x）的表达式；
（2）求证：当x＞0时，方程f（x）=g（x）+2有唯一解；
（3）当b＞﹣1时，若在x∈（0，1]内恒成立，求b的取值范围．

  试题来源：湖南省月考题   试题题型：解答题   试题难度：偏难   适用学段：高中   考察重点：函数的最值与导数的关系



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
解：（1），
依题意f'（x）≥0，x∈（1，2]恒成立，
即a≤2x2，x∈（1，2]恒成立．
∴a≤ 2①
又，依题意恒成立g'（x）≤0，x∈（0，1），
即 ，x∈（0，1）恒成立．
∴a≥2． ．②
由①②得a=2．
∴．
（2）由f（x）=g（x）+2知，
方程，
设，
则=，
令h'（x）=0，并由x＞0，得x=1．
列表分析：
x（0，1）1（1，+∞）h'（x）﹣0+h（x）递减0递增知h（x）在x=1处有一个最小值0，
∴当x＞0且x≠1时，h（x）＞0，
∴h（x）=0在（0，+∞）上只有一个解．
即当x＞0时，方程f（x）=g（x）+2有唯一解．      
（3）解法一：∵在x∈（0，1]恒成立，
∴x2﹣2lnx在x∈（0，1]内恒成立，
∴在x∈（0，1]内恒成立…③
令（x∈（0，1]），
则
∴x∈（0，1]时，m'（x）＜0，
∴m（x）在（0，1]是减函数，
∴[m（x）]min=m（1）=2
由③知2b≤[m（x）]min=2，
∴b≤1
又b＞﹣1，
所以：﹣1＜b≤1为所求范围．
解法二：设，
则x∈（0，1]时，
=
∴φ（x）在（0，1]为减函数，
∴φ（x）min=φ（1）=1﹣2b+1≥0，
∴b≤1
又b＞﹣1，
所以：﹣1＜b≤1为所求范围 ．
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x2﹣alnx在（1，2]是增函数，在（0，1）为减函数．（1）求..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。


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