已知f（x）是二次函数，f′（x）是它的导函数，且对任意的x∈R，f′（x）=f（x+1）+x2恒成立．（1）求f（x）的解析表达式；（2）设t＞0，曲线C：y=f（x）在点P（t，f（t））处的切线为l，l与坐标轴围成-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）是二次函数，f′（x）是它的导函数，且对任意的x∈R，f′（x）=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

已知f（x）是二次函数，f′（x）是它的导函数，且对任意的x∈R，f′（x）=f（x+1）+x²恒成立．
（1）求f（x）的解析表达式；
（2）设t＞0，曲线C：y=f（x）在点P（t，f（t））处的切线为l，l与坐标轴围成的三角形面积为S（t）．求S（t）的最小值．

试题来源：天津月考题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）设f（x）=ax²+bx+c（其中a≠0），则f'（x）=2ax+b，
f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+c=ax²+（2a+b）x+a+b+c．
由已知，得2ax+b=（a+1）x²+（2a+b）x+a+b+c，
∴

，解之，得a=﹣1，b=0，c=1，
∴f（x）=-x²+1．
（2）由（1）得，P（t，1-t²），
切线l的斜率k=f'（t）=-2t，
∴切线l的方程为y-（1-t²）=-2t（x-t），
即y=-2tx+t²+1．
从而l与x轴的交点为

，
l与y轴的交点为B（0，t²+1），
∴

（其中t＞0）．
∴

．
当

时，S'（t）＜0，S（t）是减函数；
当

时，S'（t）＞0，S（t）是增函数．
∴

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）是二次函数，f′（x）是它的导函数，且对任意的x∈R，f′（x）=..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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