有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器（切、焊损耗忽略不计）．有人应用数学知识作了如下设计：如图（a），在钢板的四个角处各切去一个小正方形-数学试题及答案

1、试题题目：有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体形..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器（切、焊损耗忽略不计）．有人应用数学知识作了如下设计：如图（a），在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图（b）．
（1）请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V₁；
（2）由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切、焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积V₂＞V₁．

试题来源：广东省模拟题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为4﹣2x，高为x，
∴V₁=（4﹣2x）² x=4（x³﹣4x²+4x）（0＜x＜2）．
∴V₁'=4（3x²﹣8x+4）．
令V₁'=0，得x₁=，x₂=2（舍去）．
而V₁'=12（x﹣）（x﹣2），又当x＜时，V₁'＞0；
当＜x＜2时，V₁'＜0，
∴当x=时，V₁取最大值．
（2）重新设计方案如下：如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；
如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；
如图③，将图②焊成长方体容器．新焊长方体容器底面是一长方形，长为3，宽为2，此长方体容积V₂=3×2×1=6，显然V₂＞V₁．故第二种方案符合要求．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体形..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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