已知函数在处的切线斜率为零．（Ⅰ）求x0和b的值；（Ⅱ）求证：在定义域内f（x）≥0恒成立；（Ⅲ）若函数有最小值m，且，求实数a的取值范围.-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数在处的切线斜率为零．（Ⅰ）求x0和b的值；（Ⅱ）求证：在定义域内..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

已知函数

在

处的切线斜率为零．
（Ⅰ）求 x₀和b 的值；
（Ⅱ）求证：在定义域内 f（x）≥0恒成立；
（Ⅲ）若函数

有最小值m ，且

，求实数a 的取值范围.

试题来源：浙江省模拟题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）解：求导函数可得

由题意有f'（x₀）=0，即

，解得x₀=e或x₀=-3e（舍去）．
∴f（e）=0即

，解得

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知

，
f'（x）=

在区间（0，e）上，有f'（x）＜0；
在区间（e，+∞）上，有f'（x）＞0．
故f（x）在（0，e）单调递减，在（e，+∞）单调递增，
于是函数f（x）在（0，+∞）上的最小值是f（e）=0．
故当x＞0时，有f（x）≥0恒成立．
（Ⅲ）解：

（x＞0）．
当a＞3e²时，则

，当且仅当x= a-3e² 时等号成立，
故F（x）的最小值

＞2e，符合题意；
当a=3e²时，函数F（x）=x+2e在区间（0，+∞）上是增函数，不存在最小值，不合题意；
当a＜3e²时，函数

在区间（0，+∞）上是增函数，不存在最小值，不合题意．
综上，实数a的取值范围是（3e²，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数在处的切线斜率为零．（Ⅰ）求x0和b的值；（Ⅱ）求证：在定义域内..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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