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1、试题题目：设x1，x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2﹣a2x（a＞0）的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

设x1，x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2﹣a2x（a＞0）的两个极值点．
（1）若x1=-1，x2=2，求函数f（x）的解析式；
（2）若的最大值；
（3）设函数g（x）=f（x）﹣a（x﹣x1），x∈（x1，x2），当x2=a时，求证：．

  试题来源：月考题   试题题型：解答题   试题难度：偏难   适用学段：高中   考察重点：函数的最值与导数的关系



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
解：（1）∵f（x）=ax3+bx2﹣a2x（a＞0），
∴f'（x）=3ax2+2bx﹣a2，（a＞0），
依题意有，（a＞0）
解得a=6，b=﹣9，
∴f（x）=6x3﹣9x2﹣36x．
（2）∵f'（x）=3ax2+2bx﹣a2，（a＞0），
依题意，x1，x2是方程f'（x）=0的两个根，且，
∴，
∴，
∴b2=3a2（6﹣a），
∵b2≥0，
∴0＜a≤6，
设p（a）=3a2（6﹣a），则p'（a）=﹣9a2+36a，
由p'（a）＞0，得0＜a＜4，
由p'（a）＜0，得a＞4，
即：函数p（a）在区间（0，4]上是增函数，在[4，6]上是减函数．
∴当a=4时，p（a）有极大值为96，
∴p（a）在（0，6]上的最大值是4
∴b的最大值是4．
（3）证明：∵x1，x2是方程f'（x）=0的两根，
∴f'（x）=3a（x﹣x1）（x﹣x2），
∵，x2=a，
∴，
∴|g（x）|=|3a（x+）[3（x﹣a）﹣1]，
∵x1＜x＜x2，即，
∴，
∴=﹣3a++
≤=，
∴|g（x）|≤成立．
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设x1，x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2﹣a2x（a＞0）的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。


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