已知函数f（x）=sin2x+acos2x（a∈R，a为常数），且π4是函数y=f（x）的零点．（1）求a的值，并求函数f（x）的最小正周期；（2）若x∈[0，π2]，求函数f（x）的值域，并写出f（x）取得最大值时x的-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=sin2x+acos2x（a∈R，a为常数），且π4是函数y=f（x）的零..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=sin2x+acos²x（a∈R，a为常数），且

π

4

是函数y=f（x）的零点．
（1）求a的值，并求函数f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[0，

π

2

]，求函数f（x）的值域，并写出f（x）取得最大值时x的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由于

π

4

是函数y=f（x）的零点，即x=

π

4

是方程f（x）=0的解，
从而f（

π

4

）=sin

π

2

+acos²

π

4

=0，
则1+

1

2

a=0，解得a=-2．
所以f（x）=sin2x-2cos²x=sin2x-cos2x-1，
则f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）-1，
所以函数f（x）的最小正周期为π．

（2）由x∈[0，

π

2

]，得2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
则sin（2x-

π

4

）∈[-

2

，1]，
则-1≤

2

sin（2x-

π

4

）≤

2

，
-2≤

2

sin（2x-

π

4

）-1≤

2

-1，
∴值域为[-2，

2

-1]．
当2x-

π

4

=2kπ+

π

2

（k∈Z），
即x=kπ+

3

8

π时，
f（x）有最大值，又x∈[0，

π

2

]，
故k=0时，x=

3

8

π，
f（x）有最大值

2

-1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=sin2x+acos2x（a∈R，a为常数），且π4是函数y=f（x）的零..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：