设x1、x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的两个极值点．（I）若x1=-1，x2=2，求函数f（x）的解析式；（II）若|x1|+|x2|=22，求b的最大值；（III）设函数g（x）=f′（x）-a（x-x1），x∈（x-数学试题及答案

1、试题题目：设x1、x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-17 07:30:00

试题原文

设x₁、x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点．
（I）若x₁=-1，x₂=2，求函数f（x）的解析式；
（II）若 |x1|+|x2|=2

2

，求b的最大值；
（III）设函数g（x）=f′（x）-a（x-x₁），x∈（x₁，x₂），当x₂=a时，求|g（x）|的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数解析式的求解及其常用方法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0），
∴f′（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0），
依题意又-1和2是方程3ax²+2bx-a²=0的两根，
∴

1=-

2b

3a

-2=-

a

3

，解得

a=6

b=-9

，
∴f（x）=6x³-9x²-36x（经检验，适合）…3′
（Ⅱ）∵f′（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0），依题意，x₁、x₂是方程f′（x）=0的两个根，
∵x₁x₂=-

a

3

＜0且|x₁|+|x₂|=2

2

，
∴(x1-x2)2=8．
∴(-

2b

3a

)2+

4a

3

=8，
∴b²=3a²（6-a），
∵b²≥0，
∴0＜a≤6．
设p（a）=3a²（6-a），则p′（a）=-9a²+36a．
由p′（a）＞0得0＜a＜4，由p′（a）＜0得a＞4，
即p（a）在区间（0，4]上是增函数，在区间[4，6]上是减函数，
∴当a=4时p（a）有极大值96．
∴p（a）在（0，6]上的最大值是96，
∴b的最大值为4

6

．-----（9分）
（Ⅲ）证明：∵x₁、x₂是方程f′（x）=0的两个根，
∴f′（x）=3a（x-x₁）（x-x₂）．
∵x₁x₂=-

a

3

，x₂=a，
∴x₁=-

1

3

．
∴|g（x）|=|3a（x+

1

3

）（x-a）-a（x+

1

3

）|=|a（x+

1

3

）[3（x-a）-1]|，
∵x₁＜x＜x₂，即-

1

3

＜x＜a，
∴|g（x）|=a（x+

1

3

）（-3x+3a+1）
=-3a（x+

1

3

）（x-

3a+1

3

）
=-3a(x-

a

2

)2+

3a3

4

+a²+

1

3

a
≤

3a3

4

+a²+

1

3

a
=

a(3a+2)2

12

．
|g（x）|_max=

a(3a+2)2

12

，当且仅当x=

a

2

时取“=”…15′

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设x1、x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数解析式的求解及其常用方法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数解析式的求解及其常用方法”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：