一般地，我们把函数h（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0（n∈N）称为多项式函数，其中系数a0，a1，…，an∈R．设f（x），g（x）为两个多项式函数，且对所有的实数x等式f[g（x）]=g[f（x）]恒成立．-数学试题及答案

1、试题题目：一般地，我们把函数h（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0（n∈N）称为多项式..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-17 07:30:00

试题原文

一般地，我们把函数h（x）=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀（n∈N）称为多项式函数，其中系数a₀，a₁，…，a_n∈R．
设 f（x），g（x）为两个多项式函数，且对所有的实数x等式f[g（x）]=g[f（x）]恒成立．
（Ⅰ）若f（x）=x²+3，g（x）=kx+b（k≠0）．
①求g（x）的表达式；
②解不等式f（x）-g（x）＞5．
（Ⅱ）若方程f（x）=g（x）无实数解，证明方程f[f（x）]=g[g（x）]也无实数解．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数解析式的求解及其常用方法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）①∵f[g（x）]=g[f（x）]即（kx+b）²+3=k（x²+3）+b k²x²+2kbx+b²+3=kx²+3k+b
∴

k=k2

2kb=0

b2+3=3k+b

解得

k=1

b=0

∴g（x）=x
②f（x）-g（x）＞5，即x²-x+3＞5 解得 x＞2或x＜-1
（Ⅱ）反证法：F（x）=f（x）-g（x）则 F[f（x）]=f[f（x）]-g[f（x）]F[g（x）]=f[g（x）]-g[g（x）]若结论成立，则推出 F[f（x）]+F[g（x）]=0；即F[f（x）]=-F[g（x）]说明存在一点a，a介于f（x）与g（x）之间，满足F（a）=0 因为f（x）=g（x）无实数解，则F（x）=0永远不成立，推出假设不成立，
方程f（x）=g（x）无实数解，方程f[f（x）]=g[g（x）]也无实数解．证毕

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“一般地，我们把函数h（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0（n∈N）称为多项式..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数解析式的求解及其常用方法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数解析式的求解及其常用方法”。

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