已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值（1）求函数f（x）的解析式；（2）求证：对于区间[﹣1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤4；（3）若过点A（1，m）（m≠﹣2）可作曲-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值（1）求函数f（x）的解析式..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-17 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax³+bx²﹣3x在x=±1处取得极值
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求证：对于区间[﹣1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）﹣f（x₂）|≤4；（3）若过点A（1，m）（m≠﹣2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的范围．

试题来源：山东省月考题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：函数解析式的求解及其常用方法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）f′（x）=3ax²+2bx﹣3，依题意，f′（1）=f′（﹣1）=0，解得a=1，b=0．
∴f（x）=x³﹣3x
（2）∵f（x）=x³﹣3x，
∴f′（x）=3x²﹣3=3（x+1）（x﹣1），
当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，
故f（x）在区间[﹣1，1]上为减函数，f_max（x）=f（﹣1）=2，f_min（x）=f（1）=﹣2
∵对于区间[﹣1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂，
都有|f（x₁）﹣f（x₂）|≤|f_max（x）﹣f_min（x）|
|f（x₁）﹣f（x₂）|≤|f_max（x）﹣f_min（x）|=2﹣（﹣2）=4
（3）f′（x）=3x²﹣3=3（x+1）（x﹣1），
∵曲线方程为y=x³﹣3x，
∴点A（1，m）不在曲线上．设切点为M（x₀，y₀），
切线的斜率为

（左边用导数求出，右边用斜率的两点式求出），整理得2x₀³﹣3x₀²+m+3=0．
∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，故此方程有三个不同解，
下研究方程解有三个时参数所满足的条件设g（x₀）=2x₀³﹣3x₀²+m+3，
则g′（x₀）=6x₀²﹣6x₀，由g′（x₀）=0，得x₀=0或x₀=1．
∴g（x₀）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减．
∴函数g（x₀）=2x₀³﹣3x₀²+m+3的极值点为x₀=0，x₀=1
∴关于x₀方程2x₀³﹣3x₀²+m+3=0有三个实根的充要条件是

，解得﹣3＜m＜﹣2．故所求的实数a的取值范围是﹣3＜m＜﹣2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值（1）求函数f（x）的解析式..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数解析式的求解及其常用方法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数解析式的求解及其常用方法”。

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