已知抛物线y2=4x，F是焦点，直线l是经过点F的任意直线．（1）若直线l与抛物线交于两点A、B，且OM⊥AB（O是坐标原点，M是垂足），求动点M的轨迹方程；（2）若C、D两点在抛物线y2=4x上-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线y2=4x，F是焦点，直线l是经过点F的任意直线．（1）若直线..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-31 07:30:00

试题原文

已知抛物线y²=4x，F是焦点，直线l是经过点F的任意直线．
（1）若直线l与抛物线交于两点A、B，且OM⊥AB（O是坐标原点，M是垂足），求动点M的轨迹方程；
（2）若C、D两点在抛物线y²=4x上，且满足

OC

?

OD

=-4，求证直线CD必过定点，并求出定点的坐标．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：向量数量积的运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设动点M的坐标为（x，y）．
∵抛物线y²=4x的焦点是F（1，0），直线l恒过点F，且与抛物线交于两点A、B，
又OM⊥AB，
∴

OM

⊥

FM

，即

OM

?

FM

=0．
∴（x，y）?（x-1，y）=0，化简，得x²+y²-x=0．
又当M与原点重合时，直线l与x轴重合，故x≠0．
∴所求动点M的轨迹方程是x²+y²-x=0（x≠0）．
（2）设点C、D的坐标为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．
∵C、D在抛物线y²=4x上，
∴y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，即x1+x2=

y

21

+

y

22

4

，x1x2=

y

21

y

22

16

．
又

OC

?

OD

=-4，
∴x1x2+y1y2=-4，即

y

21

y

22

16

+y1y2=-4，解得y1y2=-8．
∵点C、D的坐标为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
∴直线CD的一个法向量是

n

=(y1-y2，x2-x1)，
可得直线CD的方程为：（y₁-y₂）（x-x₁）+（x₂-x₁）（y-y₁）=0，
化简，得（y₁-y₂）x+（x₂-x₁）y+x₁y₂-y₁x₂=0，进一步用y₁、y₂分别替换x₁、x₂，有(y1-y2)x+

y1+y2

4

(y2-y1)y-2(y1-y2)=0．
又抛物线y²=4x上任两点的纵坐标都不相等，即y₁-y₂≠0．
∴直线CD的方程可化为x-

y1+y2

4

y-2=0．
∴直线CD恒过定点，且定点坐标为（2，0）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线y2=4x，F是焦点，直线l是经过点F的任意直线．（1）若直线..”的主要目的是检查您对于考点“高中向量数量积的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中向量数量积的运算”。

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