定长等于26的线段AB的两个端点分别在直线y=62x和y=-62x上滑动，线段AB中点M的轨迹为C；（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设过点（0，1）的直线l与轨迹C交于P，Q两点，问：在y轴上是否存在定-数学试题及答案

1、试题题目：定长等于26的线段AB的两个端点分别在直线y=62x和y=-62x上滑动，线..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-31 07:30:00

试题原文

定长等于2

6

的线段AB的两个端点分别在直线y=

6

2

x和y=-

6

2

x上滑动，线段AB中点M的轨迹为C；
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）设过点（0，1）的直线l与轨迹C交于P，Q两点，问：在y轴上是否存在定点T，使得不论l如何转动，

TP

?

TQ

为定值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：向量数量积的运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设M(x，y)，A(x1，

6

2

x1)，B(x2，-

6

2

x2)，
则x₁+x₂=2x，x1-x2=

4y

6

，代入|AB|=

(x1-x2)2+

6

4

(x1+x2)2

=2

6

，
得轨迹C的方程为

16y2

6

+6x2=24，即

y2

9

+

x2

4

=1；
（Ⅱ）（1）若l不与y轴重合，设直线l方程为y=kx+1，代入椭圆C的方程得（4k²+9）x²+8kx-32=0，
设P（x₃，kx₃+1），Q（x₄，kx₄+1），
则x3+x4=-

8k

4k2+9

，x3?x4=-

32

4k2+9

；
设点T（0，t），则

TP

?

TQ

=x₃?x₄+（kx₃+1-t）?（kx₄+1-t）
=(1+k2)x3x4+k(1-t)(x3+x4)+(1-t)2
=

-32(1+k2)-8k2(1-t)+(1-t)2(4k2+9)

4k2+9

=

[-40+8t+4(1-t)2]k2+[-32+9(1-t)2]

4k2+9

，
使

TP

?

TQ

为定值，则

-32+9(1-t)2

-40+8t+4(1-t)2

=

9

4

，
解得t=

29

9

，即对于点T(0，

29

9

)总有

TP

?

TQ

=

16×7

9×9

；
（2）当l与y轴重合时，P（0，3），Q（0，-3），对于点T(0，

29

9

)也有

TP

?

TQ

=

16×7

9×9

，
故在y轴上存在定点T(0，

29

9

)使得

TP

?

TQ

为定值．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定长等于26的线段AB的两个端点分别在直线y=62x和y=-62x上滑动，线..”的主要目的是检查您对于考点“高中向量数量积的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中向量数量积的运算”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：