已知圆M的方程为（x-2）2+y2=1，直线l的方程为y=2x，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；（2）求PA?PB的最小值；（3）求证：经过A，-数学试题及答案

1、试题题目：已知圆M的方程为（x-2）2+y2=1，直线l的方程为y=2x，点P在直线l上，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-31 07:30:00

试题原文

已知圆M的方程为（x-2）²+y²=1，直线l的方程为y=2x，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；
（2）求

PA

?

PB

的最小值；
（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：向量数量积的运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设P（m，2m），由题可知MP=2，M（2，0），所以（2m）²+（m-2）²=4，解之得m=0，m=

4

5

．
故所求点P的坐标为P（0，0）或（

4

5

，

8

5

）． …（4分）
（2）设P（m，2m），则

PA

?

PB

=|

PA

|2cos∠PAB．
又|

PA

|2=PM2-1，cos∠PAB=1-2sin2

∠PAB

2

=1-

2

PM2

，
∴

PA

?

PB

=|

PA

|2cos∠PAB=(PM2-1)(1-

2

PM2

)=PM2+

2

PM2

-3．…（7分）
又PM2=(m-2)2+(2m)2=5m2-4m+4∈[

16

5

，+∞)，
∴

PA

?

PB

=|

PA

|2cos∠PAB=PM2+

2

PM2

-3=(PM-

2

PM

)2-1∈[

33

40

，+∞)，
故

PA

?

PB

的最小值

33

40

． …（10分）
（3）证明：设P（m，2m），MP的中点Q(

m

2

+1，m)，
因为PA是圆M的切线，所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，
故其方程为(x-

m

2

-1)2+(y-m)2=m2+(

m

2

-1)2，
化简得x²+y²-2x+m（-x-2y+2）=0，…（13分）
故

x2+y2-2x=0

-x-2y+2=0

解得

x=2

y=0

或

x=

2

5

y=

4

5

.

所以经过A，P，M三点的圆必过定点（2，0）和(

2

5

，

4

5

)． …（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知圆M的方程为（x-2）2+y2=1，直线l的方程为y=2x，点P在直线l上，..”的主要目的是检查您对于考点“高中向量数量积的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中向量数量积的运算”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：