已知m，n∈R，且m+2n=2，则m?2m+n?22n+1的最小值为_____

1、试题题目：已知m，n∈R，且m+2n=2，则m?2m+n?22n+1的最小值为______．

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-06 07:30:00

试题原文

已知m，n∈R，且m+2n=2，则m?2^m+n?2²ⁿ⁺¹的最小值为______．

试题来源：江苏二模试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：基本不等式及其应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

∵2n=2-m
∴f（m）=m?2^m+n?2²ⁿ⁺¹=m?2^m+（2-m）?2^2-m
令g（m）=m?2^m，h（m）=（2-m）?2^2-m当m≤0时，h（m）为增函数，且h（m）≥h（0）=8
g（m）=-|m|?2^-|m|由于从y=x与y=2^x的图象易知，|m|≤2^|m|，所以|m|?2^-|m|≤1，
g（m）=-|m|?2^-|m|≥-1
f（m）=g（m）+h（m）≥-1+8=7
当m≥2时，由g（m）与h（m）关于x=1对称，同上可得f（m）≥7
当 0＜m＜2时，g（0）=h（2）=0，g（2）=h（0）=8
g'（m）=（mln2+1）2^m＞0，h'（m）=-[（2-m）ln2+1]2^2-m＜0 且g'（m），h'（m）均为单调递增
当0＜m＜1时，g'（m）＜g'（1）=2（ln2+1），h'（m）＜h（1）=-2（2ln2+1），
f′（m）=g'（m）+h'（m）＜0单调递减
当1≤m＜2时，同理，可得f′（m）=g'（m）+h'（m）≥g'（1）+h'（1）=0单调递增（当m=1时等号成立）
所以当m=1时，f（m）取最小值，
即当m=1，n=

1

2

时，m?2^m+n?2²ⁿ⁺¹的最小值为4
故答案为：4

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知m，n∈R，且m+2n=2，则m?2m+n?22n+1的最小值为______．”的主要目的是检查您对于考点“高中基本不等式及其应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中基本不等式及其应用”。

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