过点A（0，a）作直线交圆M：（x-2）2+y2=1于点B、C，（理）在BC上取一点P，使P点满足：AB=λAC，BP=λPC，(λ∈R)（文）在线段BC取一点P，使点B、P、C的横坐标的倒数成等差数列（1）求点P的轨-数学试题及答案

1、试题题目：过点A（0，a）作直线交圆M：（x-2）2+y2=1于点B、C，（理）在BC上取一点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-06 07:30:00

试题原文

过点A（0，a）作直线交圆M：（x-2）²+y²=1于点B、C，
（理）在BC上取一点P，使P点满足：

AB

=λ

AC

，

BP

=λ

PC

，(λ∈R)
（文）在线段BC取一点P，使点B、P、C的横坐标的倒数成等差数列
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若（1）的轨迹交圆M于点R、S，求△MRS面积的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：基本不等式及其应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）（理）令P（x，y），因为

AB

=λ

AC

，

BP

=λ

PC

，(λ∈R)
所以x_B=λx_C，x-x_B=λ（x_C-x）
∴

x-xB

xC-x

=

xB

xC

，
∴x=

2xBxC

xB+xC

①
设过A所作的直线方程为y=kx+a，（显然k存在）
又由

y=kx+a

(x-2)2+y2=1

得（1+k²）x²+（2ak-4）x+a²+3=0
∴xB+xC=

4-2ak

1+k2

，xBxC=

2a+3k

2-ak

代入①，得x=

a2+3

2-ak

，
∴y=kx+a=

2a+3k

2-ak

消去k，得所求轨迹为2x-ay-3=0，（在圆M内部）
（文）令P（x，y），因为点B、P、C的横坐标的倒数成等差数列
所以

2

x

=

1

xB

+

1

xc

?x=

2xBxc

xB+xc

（以下同理）
（2）上述轨迹过为定点（

3

2

，0）的直线在圆M内部分
，由

2x-ay-3=0

(x-2)2+y2=1

得（a²+4）y²-2ay-3=0
则|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=4

a2+3

(a2+4)2

∴S△MRS=

1

2

×

1

2

×4

a2+3

(a2+4)2

=

a2+3

(a2+4)2

=

1

(a2+3)+

1

(a2+3)

+2

令t=a²+3，则t≥3，而函数f(t)=t+

1

t

在t≥3时递增，
∴S△MRS≤

1

3+

1

3

+2

=

3

4

．
∴S△MRS|max=

3

4

，此时t=3，a=0，

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“过点A（0，a）作直线交圆M：（x-2）2+y2=1于点B、C，（理）在BC上取一点..”的主要目的是检查您对于考点“高中基本不等式及其应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中基本不等式及其应用”。

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