已知a，b，c∈（0，1）．（1）若(1-a)b＞14，求证：(1-a)+b2＞12．（2）求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a三数中至少有一个小于或等于14．-数学试题及答案

1、试题题目：已知a，b，c∈（0，1）．（1）若(1-a)b＞14，求证：(1-a)+b..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-06 07:30:00

试题原文

已知a，b，c∈（0，1）．
（1）若(1-a)b＞

1

4

，求证：

(1-a)+b

2

＞

1

2

．
（2）求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a三数中至少有一个小于或等于

1

4

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：基本不等式及其应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）a，b，c∈（0，1），∴1-a＞0，b＞0．
∵(1-a)b＞

1

4

，∴

(1-a)+b

2

≥

(1-a)b

＞

1

4

=

1

2

．
故

(1-a)+b

2

＞

1

2

成立．
（2）证明：假设（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a三数都大于

1

4

，由（1）得

(1-a)+b

2

＞

1

2

，
同理可得

(1-b)+c

2

＞

1

2

，

(1-c)+a

2

＞

1

2

，
把这三个不等式相加可得

(1-a)+b

2

+

(1-b)+c

2

+

(1-c)+a

2

＞

3

2

，即

3

2

＞

3

2

，矛盾，
从而得到假设不成立，即（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a三数中至少有一个小于或等于

1

4

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知a，b，c∈（0，1）．（1）若(1-a)b＞14，求证：(1-a)+b..”的主要目的是检查您对于考点“高中基本不等式及其应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中基本不等式及其应用”。

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