曲边梯形由曲线y=ex，y=0，x=1，x=5所围成，过曲线y=ex，x∈[1，5]上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，这时点P的坐标是_____

1、试题题目：曲边梯形由曲线y=ex，y=0，x=1，x=5所围成，过曲线y=ex，x∈[1，5..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-25 07:30:00

试题原文

曲边梯形由曲线y=e^x，y=0，x=1，x=5所围成，过曲线y=e^x，x∈[1，5]上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，这时点P的坐标是______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：偏易适用学段：高中考察重点：指数函数模型的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

设p点坐标为（m，e^m），则切线的斜率为k=e^m
设切线方程：y=kx+b
把p点坐标代入直线方程可求的截距b=e^m-me^m＜0
切线方程为：y=e^mx+（1-m）e^m那么切出来的梯形的面积为
S=

1

2

（|k+b|+|5k+b|）（5-1）=2（|2-m|+|6-m|）e^m 1≤m≤5
①当1≤m≤2时，S=4（4-m）e^m②当2＜m≤5时，S=8e^m当1≤m≤2时，S=4（4-m）e^m求导得S'=4[（4-m）e^m-e^m]=4（3-m）e^m＞0 （1≤m≤2）
∴S=4（4-m）e^m在[1，2]上单调增，且当m=2时有最大值Smax=8e²当m＞2时，切线方程中令y=0，解得x=m-1＞1，无法构成梯形，
四条直线（y=0，x=1，x=5，过点P的切线）构成的两个三角形
综上所述，当m=2时，梯形面积有最大值8e ²，此时p点坐标为（2，e²）
故答案为（2，e²）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“曲边梯形由曲线y=ex，y=0，x=1，x=5所围成，过曲线y=ex，x∈[1，5..”的主要目的是检查您对于考点“高中指数函数模型的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中指数函数模型的应用”。

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