设函数f（x）=exa+aex，（e为无理数，且e≈2.71828…）是R上的偶函数且a＞0．（1）求a的值；（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=exa+aex，（e为无理数，且e≈2.71828…）是R上的偶函数且..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-25 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=

ex

a

+

a

ex

，（e为无理数，且e≈2.71828…）是R上的偶函数且a＞0．
（1）求a的值；
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：指数函数模型的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解　（1）∵f（x）是R上的偶函数，∴f（-1）=f（1），∴

e-1

a

+

a

e-1

=

e

a

+

a

e

，即

e-1

a

+

a

e-1

=

e

a

+

a

e

，即

1

ae

-

a

e

=

e

a

-ae．
∴

1

e

(

1

a

-a)=e（

1

a

-a），∴

1

a

-a=0，∴a²=1．
又a＞0，∴a=1．
（2）由上可得f（x）=e^x+e^-x．
由于函数f（x）的导数f′（x）=e^x-

1

ex

，当x＞0时，e^x＞1，∴f′（x）=e^x-

1

ex

＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=exa+aex，（e为无理数，且e≈2.71828…）是R上的偶函数且..”的主要目的是检查您对于考点“高中指数函数模型的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中指数函数模型的应用”。

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