在数列{an}中，a1=1，an+1=can+（2n+1）cn+1（n∈N*），其中实数c≠0．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想{an}的通项公式，并证明你的猜想．-数学试题及答案

1、试题题目：在数列{an}中，a1=1，an+1=can+（2n+1）cn+1（n∈N*），其中实数c≠0．（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=ca_n+（2n+1）cⁿ⁺¹（n∈N^*），其中实数c≠0．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想{a_n}的通项公式，并证明你的猜想．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由a1=1， an+1=c an+(2n+1) cn+1 ?a2=ca1+3c2=3c2+c，a3=ca2+5c3=8c3+c2， a4=ca3+7c4=15c4+c3；
（2）猜想：an=(n2-1)cn+cn-1；
①当n=1时，a1=1=(12-1)c1+c1-1，猜想成立；
②假设n=k时，猜想成立，即：ak=(k2-1)ck+ck-1，
则n=k+1时，ak+1=cak+(2k+1)ck+1=c[(k2-1)ck+ck-1]+(2k+1)ck+1
=（k²-1+2k+1）c^k+1+c^k=[（k+1）²-1]c^k+1+c^（k+1）-1
猜想成立．
综合①②可得对n∈N^*，an=(n2-1)cn+cn-1成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在数列{an}中，a1=1，an+1=can+（2n+1）cn+1（n∈N*），其中实数c≠0．（..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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