已知数列{an}满足a1=2，an+1=an+1n-(n+1)．（1）证明：an＞n（n≥3）；（2）证明：2+33+44+…+nn＜2．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足a1=2，an+1=an+1n-(n+1)．（1）证明：..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足a₁=2，an+1=

a

n+1n

-(n+1)．
（1）证明：a_n＞n（n≥3）；
（2）证明：

2+

3

3+

4

4+…+

n	n

＜2．

试题来源：盐城二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（1）①因为a₁=2，a₂=2，所以a3=

a

32

-3=5＞3．
②假设n=k（k≥3）时不等式成立，即a_k＞k（k≥3）；
那么，当n=k+1时，因为

a

k+1k

＞kk+1＞k2?k≥9k＞2k+2，
所以，ak+1=

a

k+1k

-k-1＞k+1．这就是说n=k+1时，不等式也成立，
由①②数学归纳法知，当n≥3时a_n＞n．…（5分）
（2）由（1）知，an=

a

nn-1

-n＞0，得

a

nn-1

＞n，
所以an-1＞

n	n

．所以

a

n-1n-2

-(n-1)＞

n	n

，即

a

n-1n-2

＞(n-1)+

n	n

，
所以an-2＞

n-1

n-1+

n	n

，以此类推，得2=a1＞

2+

3

3+

4

4+…+

n	n

，问题得证．…（10分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足a1=2，an+1=an+1n-(n+1)．（1）证明：..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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