已知数列{an}满足：a1=1，an+1?an=n，n∈N*．（1）求a2，a3，a4的值，并证明：an+2=1an+1+an；（2）证明：2n-1≤1a1+1a2+…+1an＜3n-1．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足：a1=1，an+1?an=n，n∈N*．（1）求a2，a3，a4的值，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

已知数列{an}满足：a1=1，an+1?an=n，n∈N*．
（1）求a2，a3，a4的值，并证明：an+2=

1

an+1

+an；
（2）证明：2

n

-1≤

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜3

n

-1．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意得a2=

1

a1

=1，a3=

2

a2

=2，a4=

3

a3

=

3

2

，下面证明：an+2=

1

an+1

+an，

1

an+1

+an=

1+anan+1

an+1

=

n+1

an+1

=a_n+2；
证明：（2）先证2

n

-1≤

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

，
由（1）知

1

an

=a_n+1-a_n-1，

1

an-1

=an-an-2，…，

1

a3

=a4-a2，

1

a2

=a3-a1，

1

a1

=1，
将以上式子相加得：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=a_n+1+a_n-a₂-a₁+1=a_n+1+a_n-1≥2

an+1an

-1=2

n

-1；
为证

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜3

n

-1，先证

3-

5

2

n

≤a_n≤

3+

5

2

n-1

（n≥2，n∈N^*），
用数学归纳法：
①当n=2时，a₂=1，结论显然成立；
②假设n=k时，

3-

5

2

k

≤a_k≤

3+

5

2

k-1

成立，
则当n=k+1时，由a_k+1a_k=k?a_k=

k

ak+1

，
由归纳假设有

3-

5

2

k

≤a_k≤

3+

5

2

k-1

?

3-

5

2

?

k

k-1

≤a_k+1≤

3+

5

2

k

，
因为

k

k-1

≥

k+1

，所以

3-

5

2

k+1

≤a_k+1≤

3+

5

2

k

也成立，
综上，

3-

5

2

n

≤a_n≤

3+

5

2

n-1

＜

3+

5

2

n

（n≥2，n∈N^*），
所以，当n≥2时，

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=a_n+1+a_n-1=

n

an

+a_n-1＜

n

3+

5

2

n

+

3+

5

2

n

-1=3

n

-1，
又n=1时，显然有

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜3

n

-1成立，
综上所述，2

n

-1≤

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜3

n

-1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足：a1=1，an+1?an=n，n∈N*．（1）求a2，a3，a4的值，..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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