已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1．（1）求a2，a3，a4的值．（2）猜想an的通项公式，并给予证明．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1．（1）求a2，a3，a4的值．（2）猜想..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n} 中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1．
（1）求a₂，a₃，a₄的值．
（2）猜想a_n的通项公式，并给予证明．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）n=1时 a₂=2×1+1=3
n=2时 a₃=2×3+1=7
n=3时 a₄=2×7+1=15
（2）猜想a_n=2ⁿ-1．证明
①当n=1时，a₁=2¹-1=1，命题成立．
②假设n=k（k≥1）时命题成立．即 a_k=2^k-1．
那么n=k+1时，a_k+1=2×a_k+1=2×（2^k-1）+1=2^k+1-1．命题对n=k+1也成立
综上①②可知命题对一切自然数都成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1．（1）求a2，a3，a4的值．（2）猜想..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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