已知正项数列{an}中，Sn是其前n项的和，且2Sn=an+1an，n∈N+．（Ⅰ）计算出a1，a2，a3，然后猜想数列{an}的通项公式；（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想．-数学试题及答案

1、试题题目：已知正项数列{an}中，Sn是其前n项的和，且2Sn=an+1an，n∈N+．（Ⅰ）计..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

已知正项数列{a_n}中，S_n是其前n项的和，且2Sn=an+

1

an

，n∈N⁺．
（Ⅰ）计算出a₁，a₂，a₃，然后猜想数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）由于2Sn=an+

1

an

?Sn=

1

2

(an+

1

an

)
当n=1时，a1=

1

2

(a1+

1

a1

)，可得a₁=1，
当n=2时，a1+a2=

1

2

(a2+

1

a2

)，可得a2=

2

-1（a_n＞0），
当n=3时，a1+a2+a3=

1

2

(a3+

1

a3

)，可得a3=

3

-

2

（a_n＞0），
猜想：an=

n

-

n-1

（n∈N₊）
（II）证明：（1）当n=1时，已证．
（2）假设n=k（k≥1）时，ak=

k

-

k-1

成立，则当n=k+1时，ak+1=Sk+1-Sk=

1

2

(ak+1+

1

ak+1

)-

1

2

(ak+

1

ak

)，
即ak+1-

1

ak+1

=-(ak+

1

ak

)=-(

k

-

k-1

+

1

k

-

k-1

)=-2

k

，
∴ak+1=

k+1

-

k

．
由（1）（2）可知对n∈N₊，an=

n

-

n-1

成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知正项数列{an}中，Sn是其前n项的和，且2Sn=an+1an，n∈N+．（Ⅰ）计..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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