已知函数f（x）=x+3x+1（x≠-1）．设数列{an}满足a1=1，an+1=f（an），数列{bn}满足bn=|an-3|，Sn=b1+b2+…+bn（n∈N*）．（Ⅰ）用数学归纳法证明bn≤(3-1)n2n-1；（Ⅱ）证明Sn＜233．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x+3x+1（x≠-1）．设数列{an}满足a1=1，an+1=f（an），数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

x+3

x+1

（x≠-1）．设数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n），数列{b_n}满足b_n=|a_n-

3

|，S_n=b₁+b₂+…+b_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）用数学归纳法证明b_n≤

(

3

-1)n

2n-1

；
（Ⅱ）证明S_n＜

2

3

．

试题来源：辽宁试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法证明不等式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（Ⅰ）当x≥0时，f（x）=1+

2

x+1

≥1．
因为a₁=1，所以a_n≥1（n∈N^*）．
下面用数学归纳法证明不等式b_n≤

(

3

-1)n

2n-1

．
（1）当n=1时，b₁=

3

-1，不等式成立，
（2）假设当n=k时，不等式成立，即b_k≤

(

3

-1)k

2k-1

．
那么b_k+1=|a_k+1-

3

|=

(

3

-1)|ak-

3

|

1+ak

3

-1

2

bk≤

(

3

-1)k+1

2k

．
所以，当n=k+1时，不等式也成立．
根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N^*都成立．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b_n≤

(

3

-1)n

2n-1

．
所以S_n=b₁+b₂+…+b_n≤（

3

-1）+

(

3

-1)2

2

+…+

(

3

-1)n

2n-1

=（

3

-1）?

1-(

3

-1

2

)n

1-

3

-1

2

＜（

3

-1）?

1

1-

3

-1

2

=

2

3

．
故对任意n∈N^*，S_n＜

2

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x+3x+1（x≠-1）．设数列{an}满足a1=1，an+1=f（an），数..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法证明不等式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法证明不等式”。

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