（1）选修4-2：矩阵与变换已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量e1=11，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（3，0），求矩阵M．（2）选修4-4：坐标系与参数方程过点M（3，4-数学试题及答案

1、试题题目：（1）选修4-2：矩阵与变换已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-02 07:30:00

试题原文

（1）选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量

e1

=

1

，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（3，0），求矩阵M．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
过点M（3，4），倾斜角为

π

6

的直线l与圆C：

x=2+5cosθ

y=1+5sinθ

（θ为参数）相交于A、B两点，试确定|MA|?|MB|的值．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知实数a，b，c，d，e满足a+b+c+d+e=8，a²+b²+c²+d²+e²=16，试确定e的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：柯西不等式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设矩阵 A=

ab

cd

，这里a，b，c，d∈R，
则 A=

ab

cd

1

=3

1

，故

a+b=3

c+d=3

ab

cd

-1

2

=

3

0

，故

-a+2b=3

-c+2d=0

联立以上两方程组解得a=1，b=2，c=2，d=1，故M=

12

21

．
（2）由已知得直线l的参数方程为

x=3+tcos

π

6

y=4+tsin

π

6

（t为参数），
即

x=3+

3

2

t

y=4+

1

3

t

（t为参数）．（3分）
曲线的普通方程为（x-2）²+（y-1）²=25．（6分）
把直线的参数方程代入曲线的普通方程，得
t²+（

3

+3）t-15=0，
∴t₁t₂=15，（8分）
∴点P到A，B两点的距离之积为15．（10分）
（3）由柯西不等式，（a+b+c+d）²≤（1²+1²+1²+1²）（a²+b²+c²+d²）
所以得：4（16-e）²≥（8-e）²．
解得：0≤e≤

16

5

不姐仅当a=b=c=d=

6

5

时，e取最大值

16

5

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“（1）选修4-2：矩阵与变换已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征..”的主要目的是检查您对于考点“高中柯西不等式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中柯西不等式”。

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