如图已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∠BAD=60°，长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则MN中点P的轨迹与直平行六面体的面-数学试题及答案

1、试题题目：如图已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∠BAD=60°..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-02 07:30:00

试题原文

如图已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠BAD=60°，长为2的线段MN的一个端点M在DD₁上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则MN中点P的轨迹与直平行六面体的面所围成的几何体的体积为______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：柱、锥、台、球的结构特征

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

取AB的中点E连接DE，由题意知DE⊥AB，DE⊥CD
以DE所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD₁所在直线为z轴建立如图空间直角坐标系
设M（0，0，z），N（x，y，0），则P（

x

2

，

y

2

，

z

2

）
MN=

x2+y2+z2

=2
∴x²+y²+z²=4
∴

x2

4

+

y2

4

+

z2

4

=(

x

2

)2+(

y

2

)2+(

z

2

)2=1
∴OP²=1
即OP=1
∴点P的轨迹是以原点D为球心，以1为半径的球的一部分
又∵∠BAD=60°
∴∠ADC=120°
∴点P的轨迹是球的

1

6

∴几何体的体积为V=

1

6

×

4

3

π×13=

2π

9

故答案为：

2π

9

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∠BAD=60°..”的主要目的是检查您对于考点“高中柱、锥、台、球的结构特征”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中柱、锥、台、球的结构特征”。

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