下面关于棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中的四个命题：①与AD1成60°角的面对角线的条数是8条；②直线AA1与平面A1BD所成角的余弦值是33；③从8个顶点中取四个点可组成10个正三棱锥-数学试题及答案

1、试题题目：下面关于棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中的四个命题：①与AD1成60°..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-02 07:30:00

试题原文

下面关于棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中的四个命题：
①与AD₁成60°角的面对角线的条数是8条；
②直线AA₁与平面A₁BD所成角的余弦值是

3

；
③从8个顶点中取四个点可组成 10 个正三棱锥；
④点A₁到直线BC₁的距离是

6

3

．
其中真命题的编号是______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：柱、锥、台、球的结构特征

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

①与AD₁成60°角的面对角线的条数是8条，由图形中可以看出除了其所在面以及平行的两个面外的四个表面中每个面的两条面对角线都与与AD₁成60°角，恰有8条，故命题正确；
②直线AA₁与平面A₁BD所成角的余弦值是

3

，取底面ABCD中点O，可证得∠AA₁O即是线AA₁与平面A₁BD所成角，求得线面角的余弦值为

6

3

，故此命题不对；
③从8个顶点中取四个点可组成 10 个正三棱锥，由图形的结构知，以8个顶点为顶点，以此点出发的三条侧棱为侧棱可以组成8个正三棱锥，由面对角线可以组成两个正四面体，共可以组成10个正三棱锥，故命题正确；
④点A₁到直线BC₁的距离是

6

3

，由于A₁B₁⊥侧面B₁C，且侧面是正方形，连接B₁C与BC₁交于一点M，由正方形的性质知，此两直线垂直，连接A₁M其长度即为所求点A₁到直线BC₁的距离，利用勾股定理解得，其长度是

6

2

，故命题不正确．
综上知①③正确
故答案为：①③．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“下面关于棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中的四个命题：①与AD1成60°..”的主要目的是检查您对于考点“高中柱、锥、台、球的结构特征”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中柱、锥、台、球的结构特征”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：