在三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=1，BC=3，SB=23．（1）求三棱锥S-ABC的体积；（2）证明：BC⊥SC；（3）求异面直线SB和AC所成角的余弦值．-数学试题及答案

1、试题题目：在三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=1，BC=3，SB=23．（1）求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-03 07:30:00

试题原文

在三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=1，BC=

3

，SB=2

3

．
（1）求三棱锥S-ABC的体积；
（2）证明：BC⊥SC；
（3）求异面直线SB和AC所成角的余弦值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：柱体、椎体、台体的表面积与体积

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，∴SA⊥面BAC，即SA即是棱锥的高，
又AC=1，BC=

3

，SB=2

3

，=∠ACB=90°
∴AB=2，SA=2

2

∴三角形BAC的面积为

1

2

×1 ×

3

=

3

2

，三棱锥S-ABC的体积为

1

3

×2

2

×

3

2

=

6

3

（2）由（1）知SA⊥面BAC可得SA⊥BC
又=∠ACB=90°，可得BC⊥AC，又SA∩AC=A
∴BC⊥面SCA
∴BC⊥SC
（3）分别取AB、SA、BC的中点D、E、F，连接ED、DF、EF、AF，由于ED∥SB，DF∥AC，故∠EDF（或其邻补角）就是异面直线SB和AC所成的角
由上证知DE=

1

2

SB=

3

，DF=

1

2

AC=

1

2

，AE=

2

，在直角三角形ACF中可求得AF=

7

2

在直角三角形EAF中可求得EF=

11

2

在三角形DEF中由余弦定理得∠EDF余弦的绝对值为

1

4

+3-

11

4

2×

1

2

×

3

=

3

6

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=1，BC=3，SB=23．（1）求..”的主要目的是检查您对于考点“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”。

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