椭圆x2a2+y2b2=1以F1（-2，0）和F2（2，0）为焦点，离心率e=22．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过作斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，∠AOB=90°，求弦AB的长；并求△AOB的面积．（其中O为坐标原-数学试题及答案

1、试题题目：椭圆x2a2+y2b2=1以F1（-2，0）和F2（2，0）为焦点，离心率e=22．（Ⅰ）求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-05 07:30:00

试题原文

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1以F₁（-2，0）和F₂（2，0）为焦点，离心率e=

2

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过作斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，∠AOB=90°，求弦AB的长；并求△AOB的面积．（其中O为坐标原点）

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题设条件知

c=2

c

a

=

2

，
∴a²=8，b²=4，
∴椭圆的方程为

x2

8

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）设直线方程为y=x+b，联立方程组

y=x+m

x2

8

+

y2

4

=1

，
整理，得3x²+4bx+2b²-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=-

4b

3

，x1x2=

2b2-8

3

，
∵∠AOB=90°，∴OA²+OB²=AB²，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∵y₁y₂=（x₁+b）（x₂+b）=x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²，
∴2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=0，
∴

4b2-16

3

-

4b2

3

+b2=0，解得b=±

4

3

．
∴直线方程为y=x±

4

3

．
x1+x2=±

16

3

9

，x1x2=

8

9

，
∴|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2(

768

81

-

288

81

)

=

8

15

9

．
∵O到直线y=x±

4

3

的距离为d=

|0-0±

4

3

|

2

=

2

6

3

，
∴△AOB的面积=

1

2

×

8

15

9

×

2

6

3

=

8

10

9

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“椭圆x2a2+y2b2=1以F1（-2，0）和F2（2，0）为焦点，离心率e=22．（Ⅰ）求..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：