已知数列{an}满足an-2an-1-2n-1=0，（n∈N*，n≥2），a1=1．（1）求证：数列{an2n}是等差数列；（2）若Sn=a1+a2+…+an，且Sn+2n＞100恒成立，求n的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足an-2an-1-2n-1=0，（n∈N*，n≥2），a1=1．（1）求证：数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-04 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足a_n-2a_n-1-2^n-1=0，（n∈N^*，n≥2），a₁=1．
（1）求证：数列{

an

2n

}是等差数列；
（2）若S_n=a₁+a₂+…+a_n，且S_n+2ⁿ＞100恒成立，求n的最小值．

试题来源：安徽模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）a_n-2a_n-1-2^n-1=0，
∴

an

2n

-

an-1

2n-1

=

1

2

，
∴{

an

2n

}是以

1

2

为首项，

1

2

为公差的等差数列．（4分）
（2）由（1）：

an

2n

=

1

2

+(n-1)×

1

2

，
∴a_n=n?2^n-1（6分）
∴S_n=1?2°+2?2¹+3?2²+…+n?2^n-1①
则2S_n=1?2¹+2?2²+3?2³+…+n?2ⁿ②
①-②，得-S_n=1+2¹+2²+…+2^n-1-n?2ⁿ=

1?(1-2n)

1-2

-n?2n
=2ⁿ-1-n?2ⁿ，
∴S_n=（n-1）?2ⁿ+1（9分）
由S_n+2ⁿ＞100，
即（n-1）?2ⁿ+1+2ⁿ＞100恒成立，
得n?2ⁿ+1＞100恒成立，
∵{n?2ⁿ}是单增数列，且4?2⁴+1=65，5?2⁵+1=161，
∴n_min=5（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足an-2an-1-2n-1=0，（n∈N*，n≥2），a1=1．（1）求证：数..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

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