已知数列{an}的前n项的平均数的倒数为12n+1，（1）求{an}的通项公式；（2）设cn=an2n+1，试判断并说明cn+1-cn（n∈N*）的符号；（3）设函数f(x)=-x2+4x-an2n+1，是否存在最大的实数λ，-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项的平均数的倒数为12n+1，（1）求{an}的通项公式..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-06 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前n项的平均数的倒数为

1

2n+1

，
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设cn=

an

2n+1

，试判断并说明c_n+1-c_n（n∈N^*）的符号；
（3）设函数f(x)=-x2+4x-

an

2n+1

，是否存在最大的实数λ，当x≤λ时，对于一切自然数n，都有f（x）≤0．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵数列{a_n}的前n项的平均数的倒数为

1

2n+1

，
∴a₁+a₂+…+a_n-1+a_n=n（2n+1），a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）（2n-1）
两式相减得a_n=4n-1（n≥2），
∵a₁=3，
∴a_n=4n-1（n∈N）
（2）∵cn=

an

2n+1

=

4n-1

2n+1

=2-

3

2n+1

，cn+1=2-

3

2n+3

，
∴cn+1-cn=

3

2n+1

-

3

2n+3

＞0，即cn+1＞cn．
（3）由（2）知c₁=1是数列{c_n}中的最小项，
∵x≤λ时，对于一切自然数n，都有f(x)≤0，即-x2+4x≤

an

2n+1

=cn，
∴-x²+4x≤c₁=1，即x²-4x+1≥0，
∴x≥2+

3

或x≤2-

3

， ∴取λ=2-

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项的平均数的倒数为12n+1，（1）求{an}的通项公式..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。

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