公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2+2，S3=12+32．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an及其前n项和Sn；（Ⅱ）记bn=an-2，若自然数η1，η2，…，ηk，…满足1≤η1＜η2＜…＜ηk＜…，并且bη-数学试题及答案

1、试题题目：公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2+2，S3=12+32．（Ⅰ）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-06 07:30:00

试题原文

公差d≠0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a1=2+

2

，S3=12+3

2

．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n及其前n项和S_n；
（Ⅱ）记bn=an-

2

，若自然数η₁，η₂，…，η_k，…满足1≤η₁＜η₂＜…＜η_k＜…，并且bη1，bη2，…，bη_，…成等比数列，其中η₁=1，η₂=3，求η_k（用k表示）；
（Ⅲ）记cn=

Sn

n

，试问：在数列{c_n}中是否存在三项c_r，c_s，c_t（r＜s＜t，r，s，t∈N^*）恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由．

试题来源：江苏模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵a1=2+

2

，S3=3a1+3d=12+3

2

，∴d=2
所以an=2n+

2

，Sn=n2+(

2

+1)n
（Ⅱ）由题意，b_n=2n，首项b₁=2，又数列bη1，bη2，，bη_，
的公比q=

b3

b1

=3
∴bηk=2?3k-1，又bηk=2ηk，∴η_k=3^k-1
（Ⅲ）易知cn=n+

2

+1，假设存在三项c_r，c_s，c_t成等比数列，则c_s²=c_r?c_t，
即[s+(

2

+1)]2=[r+(

2

+1)][t+(

2

+1)]，
整理得(2s-r-t)

2

=rt+r+t-s2-2s
①当2s-r-t≠0时，

2

=

rt+r+t-s2-2s

2s-r-t

，
∵r，s，t∈N^*，∴

rt+r+t-s2-2s

2s-r-t

是
有理数，这与

2

为无理数矛盾
②当2s-r-t=0时，则rt+r+t-s²-2s=0，从而

s2=rt

2s-r-t=0

，
解得r=t，这与r＜t矛盾．
综上所述，不存在满足题意的三项c_r，c_s，c_t

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2+2，S3=12+32．（Ⅰ）..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。

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