已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=1n(an+3)（n∈N*），Sn=b1+-数学试题及答案

1、试题题目：已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-06 07:30:00

试题原文

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=

1

n(an+3)

（n∈N*），S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的S_n，是否存在实数t，使得对任意的n均有：8S_n≤t（a_n+3）成立？若存在，求出t的范围，若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题意得（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）2，…2 分
整理得2a₁d=d2．
∵a₁=1，解得（d=0舍），d=2． …4 分
∴a_n=2n-1（n∈N*）． …6 分
（Ⅱ）b_n=

1

n(an+3)

=

1

2n(n+1)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=

1

2

（1-

1

n+1

）=

n

2(n+1)

． …10 分
（Ⅲ）假设存在整数t满足8S_n≤t（a_n+3）总成立．
得t≥

2n

(n+1)2

，而

2n

(n+1)2

=

2

n+

1

n

+2

≤

2

2+2

=

1

2

，即

2n

(n+1)2

的最大值为

1

2

，
∴t≥

1

2

适合条件 …（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：