已知函数f（x）=kx+m，当x∈[a1，b1]时，f（x）的值域为[a2，b2]，当x∈[a2，b2]时，f（x）的值域为[a3，b3]，依此类推，一般地，当x∈[an-1，bn-1]时，f（x）的值域为[an，bn]，其中k、-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=kx+m，当x∈[a1，b1]时，f（x）的值域为[a2，b2]，当x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-07 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=kx+m，当x∈[a₁，b₁]时，f（x）的值域为[a₂，b₂]，当x∈[a₂，b₂]时，f（x）的值域为[a₃，b₃]，依此类推，一般地，当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）的值域为[a_n，b_n]，其中k、m为常数，且a₁=0，b₁=1．
（1）若k=1，求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）项m=2，问是否存在常数k＞0，使得数列{b_n}满足

lim

n→∞

bn=4？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由；
（3）若k＜0，设数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n，求T₂₀₁₀-S₂₀₁₀．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为f（x）=x+m，当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）为单调增函数，
所以其值域为[a_n-1+m，b_n-1+m]…（2分）
于是a_n=a_n-1+m，b_n=b_n-1+m（n∈N^*，n≥2）…（4分）
又a₁=0，b₁=1，所以a_n=（n-1）m，b_n=1+（n-1）m．…（6分）
（2）因为f（x）=x+mf（x）=kx+m（k＞0），当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）为单调增函数
所以f（x）的值域为[ka_n-1+m，kb_n-1+m]，因m=2，则b_n=kb_n-1+2（n≥2）…（8分）
法一：假设存在常数k＞0，使得数列{bn}满足

lim

n→∞

bn=4，则

lim

n→∞

bn=k

lim

n→∞

bn-1+2，得4=4k+2，则k=

1

2

符合．…（12分）
法二：假设存在常数k＞0，使得数列{b_n}满足

lim

n→∞

bn=4．
当k=1不符合．…（9分）
当k≠1时，bn=kbn-1+2(n≥2)?bn+

2

k-1

=k(bn-1+

2

k-1

)(n≥2)，
则bn=(1+

2

k-1

)kn-1-

2

k-1

，…（11分）
当0＜k＜1时，

lim

n→∞

bn=

2

1-k

=4，得k=

1

2

符合．…（12分）
（3）因为k＜0，当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）为单调减函数，
所以f（x）的值域为[kb_n-1+m，ka_n-1+m]…（14分）
于是a_n=kb_n-1+m，b_n=ka_n-1+m（n∈N^*，n≥2）
则b_n-a_n=-k（b_n-1-a_n-1）…（16分）
又b₁-a₁=1
则有T2010-S2010=

2010，(k=-1)

1-k2010

1+k)

，(k＜0，k≠-1)

…（18分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=kx+m，当x∈[a1，b1]时，f（x）的值域为[a2，b2]，当x..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：