在数列an中，已知a1=1，an=2an-1+n-2，n∈N*，n≥2．（1）求证：数列an+n是等比数列；（2）求数列{an2n}的前n项和为Sn．-数学试题及答案

1、试题题目：在数列an中，已知a1=1，an=2an-1+n-2，n∈N*，n≥2．（1）求证：数列an..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

在数列a_n中，已知a₁=1，a_n=2a_n-1+n-2，n∈N^*，n≥2．
（1）求证：数列a_n+n是等比数列；（2）求数列{

an

2n

}的前n项和为S_n．

试题来源：双峰县模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵a_n=2a_n-1+n-2，
∴a_n+n=2（a_n-1+n-1）
∴数列{a_n+n}是以a₁+1=2为首项，以2为公比的等比数列；
（2）有（1）知：a_n+n=2ⁿ即：a_n=2ⁿ-n，
∴

an

2n

=1-

n

2n

∴Sn=(1-

1

2

)+(1-

2

22

)+(1-

3

23

)+…+(1-

n

2n

)=n-(

1

21

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

)
令Tn=

1

21

+

2

22

+

3

22

+…+

n

2n

①
则

1

2

Tn=

1

21

+(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)-

n

2n+1

②
①-②得：

1

2

Tn=

1

21

+(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)-

n

2n+1

=

1

2

[1-(

1

2

)n]

1-

1

2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

．
∴Tn=2-

1

2n+1

-

n

2n

，
∴Sn=n-2+

1

2n+1

+

n

2n

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在数列an中，已知a1=1，an=2an-1+n-2，n∈N*，n≥2．（1）求证：数列an..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：