如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（-3，0），B（-1，0），与y轴相交于点C，⊙O1为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求cos∠CAB的值和⊙O1的半径；（3-数学试题及答案

1、试题题目：如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（-3，0），B（-1，0），与y轴..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-05-14 07:30:00

试题原文

如图1，抛物线y=ax²+bx+3与x轴相交于点A（-3，0），B（-1，0），与y轴相交于点C，⊙O₁为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求cos∠CAB的值和⊙O₁的半径；
（3）如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．

试题来源：山东省中考真题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：初中考察重点：求二次函数的解析式及二次函数的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+3与x轴相交于点A（-3，0），B（-1，0），
∴

，解得a=1，b=4，
∴抛物线的解析式为：y=x²+4x+3．
（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x²+4x+3，
∵令x=0，得y=3，∴C（0，3），∴OC=OA=3，则△AOC为等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，∴cos∠CAB=

．
在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=

．如答图1所示，
连接O₁B、O₁C，由圆周角定理得：∠BO₁C=2∠BAC=90°，∴△BO₁C为等腰直角三角形，
∴⊙O₁的半径O₁B=

BC=

．
（3）抛物线y=x²+4x+3=（x+2）²-1，
∴顶点P坐标为（-2，-1），对称轴为x= -2．
又∵A（-3，0），B（-1，0），可知点A、B关于对称轴x=2对称．如答图2所示，
由圆及抛物线的对称性可知：点D、点C（0，3）关于对称轴对称，∴D（-4，3）．
又∵点M为BD中点，B（-1，0），
∴M（

，

），
∴BM=

；在△BPC中，B（-1，0），P（-2，-1），C（0，3），
由两点间的距离公式得：BP=

，BC=

，PC=

．
∵△BMN∽△BPC，
∴

，即

，解得：

，MN

，设N（x，y），由两点间的距离公式可得．

解之得

，

，
∴点N的坐标为（

，

）或（

，

）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（-3，0），B（-1，0），与y轴..”的主要目的是检查您对于考点“初中求二次函数的解析式及二次函数的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中求二次函数的解析式及二次函数的应用”。

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